Sonlu cisimler teorisi, öncelikle sayılar teorisi problemlerinden doğmuş (Euler, Gauss) ve tamamen matematiksel içgüdü ve merakla gelişmiştir. Uzunca bir zaman, bu teori sadece soyut matematiğin sayılar teorisi, cebirsel geometri, grup teorisi gibi konularında, uygulama hiç düşünülmeden, kullanılmıştır. Bu durum, modern bilişim teknolojilerinin gelişmesiyle ciddi şekilde değişmiştir. Sonlu cisimlerin özellikle bilgi transferi ve veri güvenliği gibi bir çok uygulamada doğal olarak kullanılabileceği görülmüştür.
Sabancı Üniversitesi Cebir, Sayılar Teorisi, Kombinatorik ve Uygulamaları Grubu'nun ilgi alanları özellikle sonlu cisimler üzerindeki eğriler, bunların kodlama teorisinde uygulamaları, yarı rastsal sayı üreteçleri ve bunların analizi, tamsayı parçalanışları ve q-serileri üzerine yoğunlaşmıştır.
Yakın zaman içinde sonlu cisimler üzerindeki eğriler, ya da global fonksiyon cisimleri, üzerinde çok kapsamlı araştırmalar yapılmıştır. Bunların önemlilerinden birisi, Drinfeld-Vladut sınırını yakalayan fonksiyon cismi kulelerinin inşaasıdır (A. Garcia ve H. Stichtenoth).
Grubun aktif uluslararası boyuttaki organizasyonları arasında "September Resarch on Curves over Finite Fields" ve "SU Lecture Series on Coding Theory" ve "Semester on Curves, Codes and Cryptography" sayılabilir.
Güncel Araştırma Konuları
Cebirler:
Asosyal olmayan (non-associative) bölümlü cebirler, sonlu yarı-cisimler (semifields).
Sonlu Cisimlerin Aritmetiği:
Permütasyon polinomları, polinom çarpanlara ayırma.
Kodlama Teorisi:
Devirli ve yarı-devirli kodlar, cebirsel geometri kodları, asimptotik olarak iyi kodlar, maksimum mesafe ayrılabilir kodlar (MDS kodları), maksimum rütbe mesafeli kodlar (MRD kodları).
Değişmeli Cebirde Kombinatoryal ve Homolojik Yöntemler:
Kombinatoryal Değişmeli Cebir (monomyal ve binomyal idealler, torik cebirler ve afin yarı-grupların kombinatiği, Cohen-Macaulay kısmi sıralı kümeleri, graflar ve simplisiyal kompleksler), Değişmeli Cebirde homolojik yöntemler (serbest çözünürlükler, Betti sayıları, regülerlik, Cohen-Macaulay modülleri), Gröbner baz teorisi ve uygulamaları.
Hesaplamalı Sayılar Teorisi:
Eliptik ve hipereliptik eğrilerin aritmetiği, düzgün düzlemsel eğriler üzerindeki rasyonel noktalar, Gauss hipergeometrik serileri ve karakter toplamları, sonlu cisimler ve sayı cisimleri üzerinde aritmetik dinamikler.
Kriptoloji:
Diziler ve akan şifreler (stream ciphers), kriptografik açıdan önemli fonksiyonlar (bent, plateaued, neredeyse mükemmel doğrusal olmayan/APN), sır paylaşım şemaları.
Saymalı Kombinatörler ve Uygulamaları:
Tam sayı parçalanışları, permütasyonlar ve permütasyon istatistikleri. Temel hipergeometrik seriler ve özdeşlikleri. Birebir eşleme (bijective) ve eleme yöntemleri, kısmi sıralı kümelerin kombinatiği.
Sonlu Cisimler Üzerinde Fonksiyon Cisimleri ve Eğriler:
Rasyonel noktalar, maksimal eğriler, fonksiyon cismi kuleleri, otomorfizmalar, modüler eğriler, Drinfeld modüler eğrileri.
Geometri:
Sonlu geometriler, projektif düzlemler, insidans geometrisi, tensör geometrisi, cebirsel varyeteler, lineer kümeler (cisim indirgeme), (klasik) polar uzaylar.
