THE HARDY-RAMANUJAN-RADEMACHER EXPRESSION FOR

THE PARTITION FUNCTION AND ITS EXTENSIONS

Seyyed Hamed Mousavi
Mathematics, MSc. Thesis, 2017

Thesis Jury

Assoc. Prof. Dr. Kağan Kurşungöz(Thesis Supervisor),

Assoc. Prof. Dr. Nihat Gökhan Göğüş, Assist. Prof. Dr. Zafeirakis Zafeirakopoulos

Date & Time: 3th, May 2017 –  15:40

Place: FENS 2008
Keywords :  

Hardy-Ramanujan-Rademacher formula, Dedekind function, Partition theory,

Kloosterman's sum, Farey dissection, Modular transformation.

Abstract

Partition theory has been studied more extensively during the last century, athough it has been around since Euler. It is not only because its combinatorial or classical analytical aspects, but also because of the opportunities number theorists saw in applications of modular forms in a different and deep view. In this thesis, we study exact formulas for the number of various partitions. For each one, we need to prove a modular transformation formula, and use Farey dissection to avoid the essential singularities of the generating functions. After that, we need to control or estimate the resulting integrals which are rooted from Cauchy integral formula.

In this way, we first study an exact formula for the number of ordinary partitions of any given integer. This formula is a famous result by Ramanujan, Hardy, and Rademacher. Also, we studied another well-known result by Hao, which gives an exact formula for the number of partitions into odd parts. This partition can also be considered for the partitions with distinct parts, thanks to Euler's partition identity. The generating function is a modular form which needs Kloosterman's estimates to handle the integrals. Next, we propose a result which is aimed at the colored partitions with parts of the form 10t±a or 2t±1. This is a continuation of recent works to generalize to partitions into parts in certain symmetric residue classes modulo a given integer. Finally, we will explain about possible future plans to find exact formulas for various other partition functions.

Özet

Tamsayı parçalanışları teorisi Euler'den beri bilinmesine rağmen son yüzyılda daha yoğun çalışılmıştır.  Bunun sebebi sadece kombinatorik veya klasik analizden beslenmekle kalmayıp modüler fonksiyonların bu alana farklı ve derin uygulamalarını sayı teorisyenlerinin farketmeleri ile olmuştur.  Bu tezde bazı parçalanış fonksiyonlarının kesin formülleri üzerine çalıştık.  Her biri için öncelikle bir modüler dönüşüm formülü ispatlamamız gerekti, ve sonrasında Farey ayrışımı kullanarak üreteç fonksiyonların esas tekilliklerinden kaçındık.  Bundan sonra Cauchy integral formülünden türeyen integrallerin büyümesini kontrol ettik veya değerlerini tahmin ettik.  

Bu şekilde, ilk önce adi parçalanış sayıları için bir kesin formül üzerinde çalıştık.  Bu formül Ramanujan, Hardy ve Rademacher'ın bir sonucudur.  Bunun yanısıra yine iyi bilinen bir sonuç olan, Hao'nun tek kısımlara parçalanış sayısını veren kesin formülü üzerine çalıştık.  Euler'in tamsayı parçalanış özdeşliğine göre bu aynı zamanda farklı kısımlara parçalanış sayısıdır.  Burada üreteç  fonksiyon modüler bir fonksiyondur ve intregrallerin hesaplamak için Kloosterman'ıntahminlerigerekir.  

Bundan sonra, kısımları 10t±a veya 2t±1. olan renkli parçalanışlarla ilgili bir sonuç ortaya attık.  Bu, eldeki sonuçları simetrik denklik sınıflarından kısımlara parçalanışları ele alan, yakın zamandaki araştırmaların devamı niteliğindedir.  Son olarak, çeşitli diğer parçalanış fonksiyonlarına kesin formüller bulmak için ileride yapılabilecek çalışmalardan bahsettik.