Doktora programındaki öğrenciler, programlarının ilk beş dönemi içerisinde üç konu sınavından oluşan yazılı aşamayı tamamlamalıdır.
Sınav konuları şunlardır:
Grup A:

1. Gerçel Analiz
2. Karmaşık Analiz
3. Kısmi Diferansiyel Denklemler

Grup B:

1. Cebir
2. Fonksiyon Cisimleri
3. Projektif Geometri
4. Sonlu Geometri
5. Değişmeli Cebir
6. Cebirsel Eğriler
7. Cebirsel Sayılar Teorisi

Öğrencinin Grup A'dan Gerçel Analiz ve Grup B'den Cebir konularından yazılı sınava girmesi zorunludur. Diğer sınav konusuna yukarıdaki listeden kendisi karar verir. Sınav konularından biri başka bir Üniversite Programından olabilir; bu durumda danışmanın ve Program koordinatörünün onayı gereklidir.
Sınav Konuları
A1) Gerçel Analiz
Konular:

1. Metrik uzaylar; tamlık, kompaktlık ve bağlantılılık. Sürekli fonksiyonlar. Daralma eşleme teoremi. Ascoli-Arzela teoremi.
2. Lebesgue ölçümü. Genel ölçümler. Yakınsama teoremleri. Ayrışım teoremleri, Hahn ayrışımı, Radon-Nikodym teoremi. Çarpım ölçümü, Fubini ve Tonelli teoremleri.
3. Normlu uzaylar. Açık eşleme, Kapalı grafik teoremleri, Hahn Banach teoremi. Düzgün Sınırlılık ilkesi, zayıf topolojiler. Lineer Operatörler. Hilbert uzayları.

 
Kaynaklar

• Classical Analysis. J. Marsden, M. Hoffman, Freeman.( 1)
• Real Analysis. W. Rudin, (1, 2 ve 3)
• Real Analysis. H. L. Royden (1, 2 ve 3)
• Introductory Real Analysis. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin (Dover Books) (1, 2 ve 3)
• Real Analysis. G. Folland (1, 2 ve 3)

 
A2) Karmaşık Analiz
Konular:

1. Analitik Fonksiyonların Temel Özellikleri: Kuvvet serisi açılımları, Karmaşık hat integralleri, Karmaşık türevleme, Cauchy-Riemann denklemleri, Cauchy teoremi ve İntegral Formülü, Açık eşleme teoremi, İzole tekilliklerin sınıflandırılması, Laurent açılımları, Kalıntı hesabı.
2. Argüman İlkesi: Kapalı bir eğrinin indeksi, Cauchy teoreminin genel formu, Kalıntı teoremi, Argüman İlkesi, Rouche teoremi.
3. Maksimum Modül İlkesi: Maksimum Modül İlkesi, Schwarz Lemması, Birim diskin kendi üzerine birebir holomorfik eşlemeleri, Mobius dönüşümleri.
4. Analitik Fonksiyonların Sıfırları ve Kutupları: Runge teoremi, meromorfik fonksiyonlar, sonsuz çarpımlar, Weierstrass Faktörizasyon teoremi.
5. Analitik Devam: Bir yol boyunca analitik devam, Monodromi teoremi

 
Kaynaklar:

• L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Inc., 1966.
• J. B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer - Verlag, 1978.
• W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Inc., 1966.

 
A3) Kısmi Diferansiyel Denklemler
Konular:

1. Birinci mertebeden PDE'ler, karakteristikler. Cauchy-Kowalevski teoremi. Sınıflandırma.
2. Hiperbolik denklemler (dalga denklemi); çözüm formülleri, karakteristikler, Cauchy ve başlangıç/sınır değer problemleri, enerji metodu.
3. Eliptik denklemler (Laplace denklemi); maksimum ilkeleri, temel çözümler, Green fonksiyonu, Poisson formülü, Dirichlet probleminin çözümü.
4. Parabolik denklemler (ısı denklemi); temel çözüm, maksimum ilkesi, enerji metodları.

 
Kaynaklar:

• Partial Differential Equations: F. John
• Partial Differential Equations: L. Evans
• Partial Differential Equations: J. Wloka

 
B1) Cebir
Konular:

1. Gruplar: Gruplar, alt gruplar, normal alt gruplar, kalan sınıfları (cosets), bölüm grupları, Lagrange teoremi, devirli gruplar, homomorfizmalar, izomorfizma teoremleri, simetrik, alterne ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, serbest abelyen gruplar, sonlu üretilmiş abelyen gruplar, bir grubun küme üzerindeki etkisi, Sylow teoremleri.
2. Halkalar: Halkalar, alt halkalar, homomorfizmalar, idealler, asal ve maksimal idealler, bölüm halkaları, halkalar için izomorfizma teoremleri, direkt çarpımlar ve Çin kalan teoremi, bölüm halkası ve lokalizasyon, değişmeli halkalarda çarpanlara ayırma, tekil çarpanlara ayırma bölgeleri (UFD), Öklid bölgeleri, polinom halkaları, polinom halkalarında çarpanlara ayırma.
3. Cisimler: Cisim genişlemeleri: cebirsel ve transandantal genişlemeler, basit genişlemeler ve karakterizasyonları, Galois genişlemeleri ve Galois teorisinin temel teoremi, parçalanma cisimleri, cebirsel kapanış, ayrılabilirlik, normallik, Galois teorisinin temel teoremi, sonlu cisimlerin yapısı, devirli genişlemeler, siklotomik genişlemeler.

 
Kaynaklar:

• Algebra: T. W. Hungerford
• Algebra: S. Lang
• Topics in Algebra: I. N. Herstein
• Abstract Algebra: D. S. Dummit, R. M. Foote

 
 
B2) Fonksiyon Cisimleri
Konular:

1. Temeller: Tek değişkenli cebirsel fonksiyon cisimleri, yerler (places), bir yerin değerleme halkası, ayrık değerlemeler, rasyonel fonksiyon cismi ve yerleri, zayıf yaklaşım teoremi, bölenler (divisors), bir fonksiyon cisminin cinsi (genus), kanonik bölenler, Riemann-Roch teoremi, güçlü yaklaşım teoremi, Weierstrass boşluk teoremi, Clifford teoremi.
2. Fonksiyon Cisimlerinin Genişlemeleri: Fonksiyon cisimlerinin cebirsel genişlemeleri, dallanma indeksi, bağıl derece, fonksiyon cisimlerinin alt halkaları, yerel integral bazları, Kummer teoremi, Hurwitz cins formülü, farklılık (different) ve Dedekind farklılık teoremi, sabit cisim genişlemeleri, Galois genişlemeleri: Kummer ve Artin-Schreier genişlemeleri, sonlu cisimler üzerinde fonksiyon cisimleri, Hasse-Weil Teoremi. 

 
Kaynaklar:

• Algebraic Function Fields and Codes: H. Stichtenoth
• Rational Points on Curves over Finite Fields: H. Niederreiter, C. Xing
• Algebraic Curves over a Finite Field: J. Hirschfeld, G. Korshmaros, F. Torres.  

 

B3) Projektif Geometri
Konular:

1. Cisimler üzerinde projektif uzaylar: homojen koordinatlar, çatılar (frames), Desargues ve Pappus, afin uzaylar, insidans yapıları, sonsuzdaki hiperdüzlem, kolineasyonlar, korelasyonlar, polariteler, dualite ilkesi, projektif gruplar, perspektiflikler, izdüşümler ve bölümler, projektif doğrular üzerinde kolineasyonlar, çifte oran (cross ratio).
2. Projektif cebirsel varyeteler: cebirsel varyeteler, boyut ve derece, kuadrikler, regüliler ve yayılımlar (spreads), kübik yüzeyler, Plücker ve Klein, hermityen varyeteler, Veronese varyeteleri, Segre varyeteleri, Grassmann varyeteleri.
3. Klasik polar uzaylar: polariteler, klasik polar uzaylar, ortogonal gruplar, simplektik gruplar, üniter gruplar, Witt teoremi
4. Aksiyomatik geometri: insidans geometrisi, projektif uzaylar, projektif düzlemler, koordinatlama, öteleme düzlemleri, polar uzaylar, genelleştirilmiş çokgenler, Tits binaları.

Kaynaklar:

• Coxeter, H.S.M. Projective Geomety (1987)
• Casse, R. Projective Geometry, An Introduction. (2006)
• Pierre Samuel, P. Projective Geometry (1988)
• Hughes and Piper. Projective Planes (1973)

 

B4) Sonlu Geometri
Konular:

1. projektif düzlemler
2. afin düzlemler
3. karşılıklı ortogonal latin kareler
4. sonlu cisimler üzerinde projektif uzaylar
5. ovaller ve ovoidler
6. yaylar ve başlıklar (arcs and caps)
7. hiperovaller
8. bloklama kümeleri
9. lineer kümeler
10. sonlu klasik gruplar
11. sonlu genelleştirilmiş dörtgenler
12. desarguesyen olmayan projektif düzlemler
13. yayılımlar (spreads)
14. öteleme düzlemleri
15. sonlu klasik polar uzaylar
16. lineer kodlar teorisi
17. maksimum mesafe ayrılabilir kodlar
18. maksimum rütbe metrik kodlar
19. diyagram geometrisi
20. Tits binaları
21. kuantum kodlama teorisi ile bağlantılar
22. eş açılı doğrular
23. karşılıklı tarafsız bazlar.

Kaynaklar:

• Ball, S. Finite Geometry and Combinatorial Applications (2015)
• Dembowski, P. Finite Geometries (1997)
• Hirschfeld, J.W.P. and Thas, J.A. General Galois Geometries (2016)

 

B5) Değişmeli Cebir
Konular:

1. Halkalar ve idealler
2. Modüller
3. Halkaların yerel özellikleri
4. Zincir koşulları
5. Noether halkaları
6. Artin halkaları
7. Derecelendirilmiş halkalar
8. Tensör ve Hom Funktorları
9. Birincil ayrışımlar
10. Serbest çözünürlüklerin (resolutions) inşası
11. Cohen-Macaulay halkaları
12. Düzenli diziler ve derinlik
13. Polinom halkasındaki monomyal ve binomyal ideallerin özellikleri

Kaynaklar:

• Introduction to Commutative Algebra (M. F. Atiyah, I.G. Macdonald), Cohen-Macaulay rings (W. Bruns, J. Herzog)

 

B6) Cebirsel Eğriler
Konular:

1. Afin ve Projektif Uzay; Afin ve Projektif Cebirsel Kümeler, Bir Nokta Kümesinin İdeali
2. Hilbert Baz Teoremi
3. Bir Cebirsel Kümenin İndirgenemez Bileşenleri, Düzlemin Cebirsel Alt Kümeleri
4. Hilbert Nullstellensatz
5. Projektif ve Afin Varyeteler, Koordinat Halkaları, Polinom Eşlemeler, Koordinat Değişimleri, Rasyonel Fonksiyonlar ve Yerel Halkalar
6. Düzlem Eğrilerinin Yerel Özellikleri (Katlı Noktalar ve Teğet Doğrular, Katlılıklar ve Yerel Halkalar, Kesişim Sayıları) ve Projektif Düzlem Eğrileri
7. Bézout Teoremi

Kaynaklar:

• Algebraic curves: an introduction to algebraic geometry Volume 30 of Mathematics lecture note series, Issue 30 of Math Lecture Notes Series, yazarlar: William Fulton ve Richard Weiss
• Plane Algebraic Curves, Volume 15 of American Indian Studies, Issue 15 of Student mathematical library, American Mathematical Society, yazar: Gerd Fischer
• Introduction to Algebraic Curves, Volume 76 of Translations of Mathematical Monographs, Amer. Mathematical Society, 1989, yazar: Phillip A. Griffiths
• A Guide to Plane Algebraic Curves, Volume 46 of Dolciani Mathematical Expositionsz, Dolciani Mathematical Expositions, 2011, yazar: Keith Kendig

 

B7) Cebirsel Sayılar Teorisi
Konular:

1. Sayı Cisimleri ve Genişlemeleri
2. Cebirsel Sayılar Cismi
3. Normlar, İzler ve Karakteristik Polinomlar
4. Sayı Cisimlerinin karmaşık cisim içine gömülmesi
5. İlkel Eleman Teoremi
6. Sayı Cisimlerinde Tam Sayı Halkaları
7. Diskriminantlar ve Bazlar
8. İntegral Bazlar
9. İdeallerin Tekil Çarpanlara Ayrımı
10. Dedekind-Kummer Teoremi
11. İdeal Sınıf Grubu ve Sınıf Sayısı
12. Birim Grupları ve Dirichlet Teoremi

Kaynaklar:

• Algebraic Number Theory; 1. baskı; yazar: Frazer Jarvis; Springer; 2014 ; ISBN: 978-3-319-07544-0.
• Number Fields, 2. baskı; yazar: D. A. Marcus; Springer; 2018; ISBN: 978-3-319-90232-6